如何将一个时间序列分解为周期序列和趋势序列的和？

时间序列分解是时序分析中的重要方法，广泛应用于时间序列预测，时间序列异常检测，时间序列聚类等场景，在工业界有很多的落地应用。

一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合：

• 长期趋势(Secular trend, T)：长期趋势指现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态。
• 季节变动(Seasonal Variation, S)：季节波动是由于季节的变化引起的现象发展水平的规则变动
• 循环波动(Cyclical Variation, C)：循环波动指以若干年为期限，不具严格规则的周期性连续变动
• 不规则波动(Irregular Variation, I): 不规则波动指由于众多偶然因素对时间序列造成的影响

其中循环波动和季节变动一般可整合分解为有规律的周期序列，而长期趋势则可整合分解为趋势序列。分解出这两种序列是时序分解中的重要课题。

本次文章为大家整理分解周期序列和趋势序列的方法。

概述

这里主要使用的技术是奇异谱分析（SSA)，其是根据观测到的时间序列构造轨迹矩阵，并对轨迹矩阵进行分解和重构，从而提取出代表原时间序列不同成分的信号，如长期趋势信号、周期信号、噪声信号等，从而进一步对分解得到的信号进行分析。

算法流程如下：

1. 根据原始时间序列构建轨迹矩阵 X
2. 对矩阵X进行奇异值分解
3. 按奇异值生成r个子矩阵
4. 根据某一分组原则将子矩阵 Xi 分为 m个组
5. 对子矩阵 Xi 进行对角均值化处理得到子序列!
6. 对m个组中的子序列相加得到分组子序列。

矩阵分解

01 时间序列嵌入形成轨迹矩阵

输入：原始时间序列y，窗口长度L

显然矩阵X是一个汉克尔矩阵（每一条副对角线的元素都相等），矩阵的行数为窗口长度L，列数为N-L+1

02 奇异值分解

其中：

奇异值分解将轨迹矩阵 X 分解为酉矩阵 U，对角阵 ∑ 和酉矩阵V的线性组合。这意味着：

r表示矩阵X的非零特征根数也即矩阵的秩。

03 特征分组

不妨设根据某一分组原则将子矩阵分为了trend、periodic、noise 3组，对应的矩阵X分解得到的子序列将被组合为3部分。

04 对角平均化

其中：

代码实例

'''数据处理'''
import pandas as pd
import numpy as np
'''数据可视化'''
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.dpi'] = 800           #调整分辨率
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False   #正常显示负号

###加载数据集###
file = r'D:/关注@公众号｜机器学习研习院/crude-oil-price.csv'
oil_info = pd.read_csv(file,index_col='date')
price = oil_info['price']

# 算法封装
class SSA(object):
    
    __supported_types = (pd.Series,np.ndarray,list) #限制时间序列的输入类型
    
    def __init__(self,tseries,L):
        '''
        Args:
            tseries:原始时间序列
            L:窗口长度
        '''
        
        if not isinstance(tseries, self.__supported_types):
            rAIse TypeError("请确保时间序列的数据类型为Pandas Series,NumpPy array 或者list")
        else:
            self.orig_TS = pd.Series(tseries)
            
        self.N = len(tseries)        #原始时间序列长度
        if not 2 <= L <= self.N / 2:
            raise ValueError("窗口长度必须介于[2,N/2]")
        self.L = L                   #窗口长度，轨迹矩阵的行数
        self.K = self.N - self.L + 1 #轨迹矩阵的列数
        self.X = np.array([self.orig_TS.values[i:L+i] for i in range(0,self.K)]).T
        
        #奇异值分解
        self.U,self.Sigma,VH = np.linalg.svd(self.X)
        self.r = np.linalg.matrix_rank(self.X)    #矩阵的秩等于非零特征值的数量
        #每一个非零特征值都对应一个子矩阵，子矩阵对角平均化后得到原始时间序列的一个子序列
        self.TS_comps = np.zeros((self.N,self.r)) 
        
        #对角平均还原
        for i in range(self.r):
            X_elem = self.Sigma[i] * np.outer(self.U[:,i], VH[i,:]) 
            X_rev = X_elem[::-1]
            self.TS_comps[:,i] = [X_rev.diagonal(j).mean() for j in range(-X_rev.shape[0]+1, X_rev.shape[1])]
            
    def comps_to_df(self):
        '''
        将子序列数组转换成DataFrame类型
        '''
        cols = ["F{}".format(i) for i in range(self.r)]
        return pd.DataFrame(data=self.TS_comps,columns=cols,index=self.orig_TS.index)
    
    def reconsruct(self,indices):
        '''
        重构，可以是部分重构（相当于子序列的分组合并），
        也可以是全部合并（重构为原序列）
        Args:
            indices   重构所选择的子序列
        '''
        if isinstance(indices,int):
            indices = [indices]
        
        ts_vals = self.TS_comps[:,indices].sum(axis=1)
        return pd.Series(ts_vals,index=self.orig_TS.index)
    
    def vis(self):
        '''
        可视化子序列
        '''
        fig,axs = plt.subplots(self.r,sharex='all')
        for i in range(self.r):
            axs[i].plot(self.reconsruct(i),lw=1)
            

price_SSA = SSA(price,7)
comps_df = price_SSA.comps_to_df()

数据来源：
https://www.kaggle.com/code/naveenkonam1985/crude-oil-price-prediction/data